Untuk membantu memecahkan masalah tersebut, maka Saudara
memerlukan kubus dengan ukuran: 2 × 2 × 2, 3 × 3 × 3, 4
× 4 × 4.
Panjang rusuk kubus
|
Banyak kubus satuan
|
Banyak kubus satuan
yang dicat permukaannya
|
|||
3 sisi
|
2 sisi
|
1 sisi
|
0 sisi
|
||
2
|
8
|
8
|
0
|
0
|
0
|
3
|
27
|
8
|
12
|
6
|
1
|
4
|
64
|
8
|
24
|
24
|
8
|
Banyak sisi yang dicat
|
Kubus berukuran
|
||||
1 x 1 x 1
|
2 × 2 × 2
|
3 × 3 × 3
|
4 × 4 × 4
|
n × n × n
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
8
|
(n-2)3
|
1
|
0
|
0
|
6
|
24
|
6(n-2)2
|
2
|
0
|
0
|
12
|
24
|
12(n-2)
|
3
|
0
|
8
|
8
|
8
|
8
|
4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
....
|
5
|
0
|
0
|
0
|
0
|
....
|
6
|
1
|
0
|
0
|
0
|
....
|
Untuk kubus n
x n x n yang dicat permukaannya, dengan syarat n ≥ 2 berlaku persamaan sebagai
berikut:
Banyak 0 sisi
yang dicat = (n-2)3
Banyak 1 sisi
yang dicat = Jumlah sisi kubus x (n-2)2= 6 (n-2)2
Banyak 2 sisi
yang dicat = Jumlah rusuk kubus x (n-2) = 12 (n-2)
Banyak 3 sisi
yang dicat = Jumlah titik sudut kubus = 8
Untuk menunjukkan kebenaran rumus
pada tabel di atas, maka apabila semua rumus di atas ditambahkan akan sama
dengan banyak kubus satuan secara keseluruhan atau n3.
Bukti:
(n-2)3 +
6 (n-2)2 + 12 (n-2) + 8 = (n3-6n2+12n-8)
+ 6 (n2-4n+4) + 12n-24 + 8
= n3-6n2+12n-8
+ 6n2-24n+24 + 12n-24 + 8
= n3-6n2+6n2+12n+12n-24n+
24-24-8+8
= n3+0+0+0+0
= n3 (terbukti)